domingo, 29 de junio de 2014

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION CON 10 EJEMPLOS


CASO I

 
 


Factor Común Monomio

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.


1. a2 + ab

    R: a (a + b)

2. 8 m2 – 12 mn

     R: 4m (2m – 3n)

3. 9a3x2 – 18 ax3

    R: 9ax2 (a2 – 2x)

4. 15 c3d2 + 60 c2d3

      R: 15 c2d2 (c + 4d)

5. 35 m2n3 – 70m3

     R: 35 m2 (n3 – 2m)

6. abc + abc2

    R: abc (1 + c)

7. 24 a2xy2 – 36 x2y4

    R: 12 xy2 (2a2 3xy2)

8. 100a2 b3c –150ab2c2  + 50 ab3c3 - 200abc2

     R: 50abc (2ab2 – 3bc  +b2c2 – 4c)      

9. x3 – x4 + x3 – x2 + x

   R: x (x – x3 + x2 – x + 1)

10. a2 – 2 a3 + 3a4 – 4a5 + 6a6

        R: a2 (1 – 2a + 3a2 – 4a3 + 6a3)


Factor Común Polinomio

1. a(x + 1) + b(x + 1)

    R:  (x + 1) (a +b)


2. (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2)

    R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)
         (3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)
         -z ( 3x +2)


3. (a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1
      R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)
           ( a2 + 1)(a + b - 1)-1
           ( a2 + 1)(a + b  - 2)


4. x(a + 1) – 3 (a + 1)
   R: (a + 1) (x – 3)

5. 2x(n – 1) – 3y(n – 1)
    R: (n – 1) (2x – 3y)


6. – m – n + x (m + n)
   R: - (m +n ) + x (m + n)
           (m+n) (-1 + x)


8. 4m (a2 + x – 1) + 3n (x – 1 + a2)
     R: (a2 + x +-1)(4m + 3n)


9. (a + 3) (a + 1) – 4(a + 1)
   R: (a + a) ((a+3) – 4)
        (a + 1)(a +3 – 4)
        (a + 1)(a – 1)


10. (m + n) (a – 2) + ( m – n )(a – 2)
      R:  (a – 2) (m +n) ( m +1) (2 - 2


CASO II

Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

1. a2 + ab + ax + bx
    R:  (a2 + ab)  +  (ax + b)
          a(a + b) + x(a +b)
           (a + b) (a +x)


2. 4am3 – 12 amn – m2  + 3n
    R: (4am3 – 12amn) – (m2 +  3n)
           4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)

           R: (m2 – 3n)(4am-1)


3. am – bm + an – bn
   (am – bm) + (an – bn)

   R: m (a –b) + n(a – b)
       (a – b)(m +n)


4. ax – 2bx – 2ay + 4by
     (ax – 2bx) – (2ay – 4by)
     R: x (a –2 x) – 2y (a – 2y)
             (x – 2y)(a – 2x ) (a- 2y )    

5. a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x
            (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3 a3b3x + 3n4x) 
            (a2b3 + a2b3x2  – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)
             a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)            

            R:   (1 + x2 – 3x) (a2b3 -  n4 )


6. 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx
    (2a2x – 5a2y) – (6bc – 15by )
    a2(2x – 5y) – 3b( 2x- 5y)

    R: (2x – 5y) (a2 – 3b)


7. 6m – 9m + 21nx – 14mx
    (6m – 9n) + (14mx – 21nx)
   3(2m – 3n) - 7x(2m – 3n)

  R: (2m – 3n) (3 – 7x)


8. 1 + a + 3ab + 3b
    (1 + a ) + (3b + 3ab)
    (1 + a) + 3b (1 + a)


9. 2am – 2an + 2a – m + n – 1
    (2am – 2an + 2a) –  (m – n + 1)
    2a (m – n + 1) – (m – n + 1)

    R: (m – n + 1) (2a – 1)

10.  3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b
      (3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b)
     (3ax –  6a + 3ay) – (2by – 4b + 2bx)

    R:  3a (x – 2 + y) – 2b ( y – 2 + x)
          (x + y – 2) (3a – 2b)

 CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

1. a2 – 2ab + b2
     a                 b   = ( a –  b)2  R:

     (2. a. b) = 2ab    


2. x2 – 2x + 1

    x               1  =  (x + 1)2   R:  (2.x.1) = 2x


3. y4 + 1 + 2y2 

   y4 + 2y2 + 1 

   y2                   1  =  (y2 + 1)2  R:

   (2.y2.1) = 2y2


4. 16 + 40x2 + 25x4
      4                    5x2 = (4 + 5x2)2  R:
     (2.4.5.x2) = 40X2

 5. a6 – 2a3b3 + b6
      a3                   b3 = (a3 – b3)2
    (2.a3. b3) = 3a3b3

6. 49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4
     7m3                                5an2 = (7m3 – 5an2)2   R:
    (2. 7m3 . 5a2n2) =  70am3 n2    
7. 9b2 – 30 ab + 25a2
     3b                     5a =   (7m – 5an2)2  R:
     (2. 3b. 5ª) =  30ab  

8.  100x10  - 60a4x5y6 + 9a8y12
       10x5                          3a4y6 =  (10x5 – 3a4y6)2  R
     (2. 10x5.3a4y6) = 60a4x5y6


9. a2 – 24am2x2 + 144m4x4
    a                            12m2x2 =    (a  – 12 2x2)2  R:  
   (2.a. 12m2x2) = 24m2x2 


10. a8 + 18a4 + 81
       a4                       9 =  (a2 + 9)2    R:
      (2. a4.  9) = 18a4

CASO ESPECIAL
1.  a2 + 2a (a + b) + (a + b)2
      a                           (a + b) = ((a + (a + b))2 = (2a + b)2 R:

    (2. a. (a + b)) =2a(a + b)

2. 4 – 4(1 – a) + (1 – a)2
     2                      (1 – a) = ((2 – (1 – a))2 = (1 + a)2

     (2. 2. (1 – a)) = 4(1 – a)


3. 4m2 – 4m(n – m) + (n – m)2
    2m                             (n – m) = ((2m – (n – m)) = (3m – n)2  R:
   (2 . 2m . (n – m)) = 4m(n – m)

4. (m – n)2 + 6(m – n) + 9
    (m – n)                         3 = ((m – n) + 3)2 = (m – n + 3)2
   (2(m – n) . 3) = 6(m – n) 

5. (a + x)2 – 2(a + x) (x + y) + (x + y)2
    (a + x)                                    (x + y) = ((a + x) – (x + y))2 = (a – y)2

   (2.(a + x). (x + y)) = 2(a + x) (x + y)

CASO IV


DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

1. X2 - y 2

     x      y  = (x + y) (x- y)  R:

2. a2 – 1

    a      1 = (a + 1) (a – 1)  R:


3. a2 – 4

     a    2 = (a + 2)(a – 2)   R:


4. 1 – y2
       1    y = (1 + y) (1 – y)  R:

5. 4a2 – 9

    2a      3 = (2a + 3) (2a – 3)  R: 

6. 25 – 36x4

     5        6x2  =  (5 + 6x2) (5 – 6x2)   R:

 
7. a10 – 49b12 

     a5       7b6 = (a5 + 7b6) (a5 –  7b6)  R:

 8. 100m2n4 - 169y6
     10mn2           13y3 =  (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)  R:

9. 1 - 9a2b4c6d8


     1       3 ab2c3d4    =  (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)   R:


10. a2m4n6 – 144

      am2n3         12 = (am2n3 + 12) (am2n3  - 12)  R:


CASO ESPECIAL

1. (x + y)2 – a2

    (x + y)       a = ((x + y) + a) ((x + y) – a) = (x + y + a) (x + y – a) R:


2. 4 – (a + 1)2
     2    (a + 1) = (2 +  (a + 1)) (2 – (a + 1)) = (2 + a + 1) (2 – a – 1) = (3 + a) (1 – a)  R:  

3.  (a - 2b)2 - (x +  y)2 

      (a - 2b)      (x + y)   = ((a - 2b) + (x + y))  ((a - b) -  (x + y))

                                           (a - 2b + x + y)   (a -2b - x - y)               R:


4. 16a10 - (2a2 + 3) 2  

     4a5         (2a2 + 3)  =  ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))
                                          (4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)         R:


5. 36(m + n)2 - 121(m - n)2  
    6(m + n)           11(m - n)   = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n)) 
                                                    (6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)

                                                    (17m + 5n ) (5m +17n)                                                R:


CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASOS III Y I

1. a2 + 2ab + b2 - x2

    (a2 + 2ab + b2) - x2

    (a + b) 2 - x2

    R : (a + b + x)(a + b - x)

2
. x2 -2xy + y2 – m2

   (x2 -2xy + y2) – m2

   (x – y)2 – m2

   R: (x – y + m) (x – y – m)


3. m2 + 2mn + n2 – 1

    (m2 + 2mn + n2) – 1

    (m + n)2 – 1

    R: (m + n + 1) (m + n – 1)


4. 9x2 – 1 + 16a2 – 24 ax

    9x2 – 24 ax + 16a2 – 1

   (9x2 – 24 ax + 16a2)  – 1

   (3x – 4a)2 – 1

   R: (3x – 4a + 1) (3x – 4a – 1)


5. 1 + 64a2b2 – x4 – 16ab

     64a2b2 – 16ab + 1 – x4

    (8ab – 1)2 – x4

    R: (8ab – 1 + x2) (8ab – 1 – x2)


6. 1 - a2 + 2ax - x2

    1 - (a2 + 2ax - x2)

    1 - (a - x)2

    R: (1 - a + x) (1 + a + x)


7. c2 – a2 + 2a – 1

    c2 – (a2 – 2a + 1)

    c2 – (a – 1)2

    R: (c + a – 1) (c – a + 1)


8. 25 – x2 – 16y2 + 8xy

    25 –(x2 – 8xy + 16y2)

    5 – (x – 4y) 2 

    R: (5 + x – 4y) (5 – x + 4y)


9. 16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2

    (16a2 -24ax +  9x2) - (1 + 10m + 25m2)

    (4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2

    R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)


10.  9m2 – a2 + 2acd – c2d2 + 100 – 60m

       (9m2 – 60m + 100) – (a2 – 2acd + c2d2)

       (3m – 10)2 – (a – cd)2 

       R: (3m – 10+ a – cd) (3m – 10 – a + cd)

            (a – cd +a  + 3m – 10) (-a + cd + 3m + cd)


CASO V
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.


1. a4 +    a2 + 1
         +    a2       - a2
    a4 + 2a2+ 1 - a2 

    (a4 + 2a2+ 1) - a2

    (a2 + 1)2 - a2

    R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)


2. m4 +   m2n2 + n4
           +   m2n2          – m2 n2     
     m4 +2 m2n2 + n4 –  m2n2

    (m4 +2 m2n2 + n4) –  m2n2

    (m2 + n2)2 – m2n2

    (m2 + mn + n2) (m2 – mn + n2)


3. x4  – 6x2 + 1

          + 4x2       – 4x2

     x4 – 2x2 + 1 – 4x2

    (x4 – 2x2 + 1) – 4x2

    (x2 – 1)2 – 4x2


   R: (x2 + 2x +1) (x2 – 2x +1)


4. 16m4 – 25m2n2 + 9n4
               +      m2n2               – m2n2
      16m4 – 25m2n2 + 9n4 – m2n2

      (16m4 – 25m2n2 + 9n4) – m2n2

      (4m2 – 3n2)2 – m2n2

       R: (4m2 + mn – 3n2) (4m2 + mn + 3n2)


5. 254 + 54a2b2 + 49b4
           + 16 a2b2               - 16 a2b2­
      254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­

      (254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­

      (5a2 + 7b)2- 16 a2b2


R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

     (5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)

6. 81m8   +     2m4  + 1
                 + 16 m4          - 16 m4
      81m8  + 18m4   + 1 - 16 m4

      ( 81m8  + 18m4   + 1) - 16 m4

      (9m4 + 1)2 - 16 m4


    R: (9m4 + 4m2 + 1) (9m4 – 4m2 + 1)


7. c4 – 45c2 + 100

          +25c2              – 25c2

    C4 – 20 c2 – 10      –25c2

    ( C4 – 20 c2 – 10)  –25c2

    ( C2 –10 )2  –25c2


   R: (c2 + 25c – 10)( c2 - 25c – 10)



8. 49 + 76n2 + 64n4

          + 36 n2             - 36 n2

    49 + 112n2 + 64n4 – 36n2

    (49 + 112n2 + 64n4 )– 36n2

    (7 + 8 n2)2 – 36n2

  

     R: (7 – 6n + 8n2) (7 + 6n + 8n2)


9. 121x4 – 133x2y 4 + 36y8

                  +      x2y 4                – x2y 4

       121x4 - 132x2y 4 + 36y8  – x2 y4

       (121x4 - 132x2y 4 + 36y8)  – x2 y4

       (11x2 – 6y4)2 – x2 y4    

       R: (11x2 + xy2 – 6y4) (11x2 – xy2 – 6y4)


10. 81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16
                     +     4 a2b4x8                  – 4 a2b4x8
       81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16  – 4 a2b4x8
           (81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16)  – 4 a2b4x8

        (9a2b4 - 16x8)2  – 4 a2b4x8

R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4)  (9a2b4 - 16x8 –  2 ab2x4)

    (9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8)  (9a2b4 –  2 ab2x4 - 16x8  )

CASO ESPECIAL

1. x4+ 64y4
    x4                            + 64y4
           + 16x2y2                  - 16x2y2      
     x4   + 16x2y2  + 64y4     - 16x2y2

    (x4   + 16x2y2  + 64y4)   - 16x2y2

    (x2   +  8y2)2   - 16x2y2


R: (x2   +  8y2 + 4xy)  (x2   +  8y2 - 4xy)

    (x2   + 4xy +  8y2)  (x2   - 4xy +  8y2)


2. 4 x8 + y8
    4 x8                      + y8
                 + 4x4y4        - 4x4y4
     4x8 + 4x4y4 + y8 – 4x4y4

     ( 4x8 + 4x4y4 + y8) – 4x4y4

     (2x4 + y4)2 – 4x4y4

      R: (2x4 + 2x2y2 + y2) (2x4 - 2x2y2 + y2)


3. 4m4 + 81n4
     4m4                     + 81n4
               + 36m2n2                 - 36m2n2
      4m4  + 36m2n2  + 81n4   - 36m2n2

     (4m4  + 36m2n2 +81n4)   - 36m2n2

      (2m2 + 9n2)2 - 6m2n2

R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn)

     (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2  - 6mn + 9n2)


4.  1 + 4n4
     1             +4n4
         + 4n2           - 4n2
     1 + 4n2  + 4n4 – 4n2

     (1 + 4n2  + 4n4) – 4n2

     (1 + 2n2)2 – 4n2 

     R: (1 + 2n + 2n2) (1 – 2n + 2n2)



5. 81a4 + 64b4
     81a4                   + 64b4
              +144a2b2              - 144a2b2
     81a4  +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2

    (81a4  +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

    (9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2

R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab)

     (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)

Publicadas por a la/s

23 comentarios:

  1. Unknown7 de octubre de 2015, 9:14 p.m.

    Considero que hay mucho errores de digitación en varios ejercicios, lo cual hace que revisando el ejercicio pueda uno confundirse con facilidad.

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    Respuestas
    1. Tomas David Lozada Romero27 de julio de 2019, 12:56 p.m.

      No solo en algunos ejercicios, si no también en el título, dice 10 casos pero solo hay 5.

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  2. Anónimo12 de noviembre de 2015, 2:26 p.m.

    solo llego hasta el caso v

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  3. Unknown15 de febrero de 2016, 10:33 a.m.

    eh? puedes subir los links de los videos para descargarlos, gracias (Y)

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  4. Unknown1 de agosto de 2016, 1:12 a.m.

    Solo un caso necesitaba para comprender el unos de los trabajos que me dejaron así que gracias de verdad gracias saludos.

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  5. Unknown18 de enero de 2017, 11:38 a.m.

    Deseo factorizar, pero, no se que metodo usar:6x2y+81x3+9xy5-16x5
    Gracias

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  6. Anónimo9 de febrero de 2017, 11:46 a.m.

    Me pueden decir q caso es xf 5m2 + 15m3

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  7. Unknown23 de mayo de 2017, 4:55 p.m.

    Cómo es esto
    (2m2+3n4)2=

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  8. Unknown23 de mayo de 2017, 4:56 p.m.

    Cómo es esto
    (2m2+3n4)2=

    ResponderBorrar
  9. Unknown28 de mayo de 2017, 4:23 p.m.

    Que Caso Es Este
    24a-12ab

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  10. Unknown7 de agosto de 2017, 7:18 p.m.

    Amig@ te equivocaste en la 9 de factor común
    x(x^2-x^3+x^2-x+1)

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  11. Unknown3 de septiembre de 2018, 2:01 p.m.

    Hello,me pueden ayudar con 64n^4+169m^2n^4+81n^8

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  12. Unknown8 de noviembre de 2018, 11:37 a.m.

    solo fueon 5
    los otros

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  13. Miguel angel cely22 de noviembre de 2018, 7:03 p.m.

    Dicen 10 y solo hay 5 y el resto ?????

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  14. Unknown21 de enero de 2019, 9:57 a.m.

    faltan los otros 5

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  15. Unknown28 de marzo de 2019, 6:55 p.m.

    M a la 4 -2ma la 2

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  16. Unknown8 de abril de 2019, 7:34 p.m.

    No se que polinomio es 12m ala Sexta menos 12n ala sexta

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  17. Unknown22 de julio de 2019, 2:04 p.m.

    me puede ayudar con el 6to caso ×2 +12×-13

    ResponderBorrar
  18. Unknown22 de julio de 2019, 4:28 p.m.

    me puede ayudar con el 6to caso ×2 +12×-13

    ResponderBorrar
  19. Unknown22 de julio de 2019, 4:28 p.m.

    me puede ayudar con el 6to caso ×2 +12×-13

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  20. aaron29999916 de diciembre de 2019, 1:37 p.m.

    lol

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  21. smooni17 de agosto de 2022, 10:25 p.m.

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