LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION CON 10 EJEMPLOS

CASO I

 

 

Factor Común Monomio

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

1. a² + ab

    R: a (a + b)

2. 8 m² – 12 mn

     R: 4m (2m – 3n)

3. 9a³x² – 18 ax³

    R: 9ax² (a² – 2x)

4. 15 c³d² + 60 c²d³

      R: 15 c²d² (c + 4d)

5. 35 m²n³ – 70m³

     R: 35 m² (n³ – 2m)

6. abc + abc²

    R: abc (1 + c)

7. 24 a²xy² – 36 x²y⁴

    R: 12 xy² (2a² 3xy²)

8. 100a² b³c –150ab²c²  + 50 ab³c³ - 200abc²

     R: 50abc (2ab² – 3bc  +b²c² – 4c)      

9. x³ – x⁴ + x³ – x² + x

   R: x (x – x³ + x² – x + 1)

10. a² – 2 a³ + 3a⁴ – 4a⁵ + 6a⁶

        R: a² (1 – 2a + 3a² – 4a³ + 6a³)

Factor Común Polinomio

1. a(x + 1) + b(x + 1)

    R:  (x + 1) (a +b)

2. (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2)

    R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

         (3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)
         -z ( 3x +2)

3. (a + b -1) (a ² + 1) – a² – 1

      R: ( a + b -1) (a ² + 1) –( a² + 1)

           ( a² + 1)(a + b - 1)-1

           ( a² + 1)(a + b  - 2)

4. x(a + 1) – 3 (a + 1)

   R: (a + 1) (x – 3)

5. 2x(n – 1) – 3y(n – 1)

    R: (n – 1) (2x – 3y)

6. – m – n + x (m + n)

   R: - (m +n ) + x (m + n)

           (m+n) (-1 + x)

8. 4m (a² + x – 1) + 3n (x – 1 + a²)

     R: (a² + x +-1)(4m + 3n)

9. (a + 3) (a + 1) – 4(a + 1)

   R: (a + a) ((a+3) – 4)
        (a + 1)(a +3 – 4)
        (a + 1)(a – 1)

10. (m + n) (a – 2) + ( m – n )(a – 2)

      R:  (a – 2) (m +n) ( m +1) (2 - 2

CASO II

Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

1. a² + ab + ax + bx

    R:  (a² + ab)  +  (ax + b)
          a(a + b) + x(a +b)
           (a + b) (a +x)

2. 4am³ – 12 amn – m²  + 3n

    R: (4am³ – 12amn) – (m² +  3n)
           4am (m² – 3n) – (m² + 3n)

           R: (m² – 3n)(4am-1)

3. am – bm + an – bn

   (am – bm) + (an – bn)

   R: m (a –b) + n(a – b)

       (a – b)(m +n)

4. ax – 2bx – 2ay + 4by

     (ax – 2bx) – (2ay – 4by)
     R: x (a –2 x) – 2y (a – 2y)
             (x – 2y)(a – 2x ) (a- 2y )    

5. a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x

            (a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3 a³b³x + 3n⁴x) 
            (a²b³ + a²b³x²  – 3a²b³x) – (n4 + n⁴x² - 3n⁴x)
             a²b³ (1 + x² – 3x)- n⁴ (1 + x² -3x)            

            R:   (1 + x² – 3x) (a²b³ -  n⁴ )

6. 2a²x – 5a²y + 15by – 6bx

    (2a²x – 5a²y) – (6bc – 15by )
    a²(2x – 5y) – 3b( 2x- 5y)

    R: (2x – 5y) (a² – 3b)

7. 6m – 9m + 21nx – 14mx

    (6m – 9n) + (14mx – 21nx)
   3(2m – 3n) - 7x(2m – 3n)

  R: (2m – 3n) (3 – 7x)

8. 1 + a + 3ab + 3b

    (1 + a ) + (3b + 3ab)
    (1 + a) + 3b (1 + a)

9. 2am – 2an + 2a – m + n – 1

    (2am – 2an + 2a) –  (m – n + 1)
    2a (m – n + 1) – (m – n + 1)

    R: (m – n + 1) (2a – 1)

10.  3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b

      (3ax – 2by – 2bx – 6a + 3ay + 4b)
     (3ax –  6a + 3ay) – (2by – 4b + 2bx)

    R:  3a (x – 2 + y) – 2b ( y – 2 + x)

          (x + y – 2) (3a – 2b)

 CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

1. a² – 2ab + b²

     a                 b   = ( a –  b)²  R:

     (2. a. b) = 2ab    

2. x² – 2x + 1

    x               1  =  (x + 1)²   R:  (2.x.1) = 2x

3. y⁴ + 1 + 2y² 

   y⁴ + 2y² + 1 

   y²                   1  =  (y² + 1)²  R:

   (2.y².1) = 2y²

4. 16 + 40x² + 25x⁴

      4                    5x² = (4 + 5x²)²  R:
     (2.4.5.x²) = 40X²

 5. a⁶ – 2a³b³ + b⁶

      a³                   b³ = (a³ – b³)²
    (2.a³. b³) = 3a³b³

6. 49m ⁶– 70 am³n² + 25 a²n⁴
     7m³                                5an² = (7m³ – 5an²)²   R:
    (2. 7m³ . 5a²n²) =  70am³ n²    

7. 9b² – 30 ab + 25a²

     3b                     5a =   (7m – 5an²)²  R:

     (2. 3b. 5ª) =  30ab  

8.  100x¹⁰  - 60a⁴x⁵y⁶ + 9a⁸y¹²

       10x⁵                          3a⁴y^{6 =}  (10x⁵ – 3a⁴y⁶)²  R
     (2. 10x⁵.3a⁴y⁶) = 60a⁴x⁵y⁶

9. a² – 24am²x² + 144m⁴x⁴

    a                            12m²x² =    (a  – 12 ²x²)²  R:  

   (2.a. 12m²x²) = 24m²x² 

10. a⁸ + 18a⁴ + 81

       a⁴                       9 =  (a² + 9)²    R:

      (2. a⁴.  9) = 18a⁴

CASO ESPECIAL
1.  a² + 2a (a + b) + (a + b)²
      a                           (a + b) = ((a + (a + b))² = (2a + b)² R:

    (2. a. (a + b)) =2a(a + b)

2. 4 – 4(1 – a) + (1 – a)²
     2                      (1 – a) = ((2 – (1 – a))² = (1 + a)²

     (2. 2. (1 – a)) = 4(1 – a)

3. 4m² – 4m(n – m) + (n – m)²

    2m                             (n – m) = ((2m – (n – m)) = (3m – n)²  R:

   (2 . 2m . (n – m)) = 4m(n – m)

4. (m – n)² + 6(m – n) + 9

    (m – n)                         3 = ((m – n) + 3)² = (m – n + 3)²

   (2(m – n) . 3) = 6(m – n) 

5. (a + x)² – 2(a + x) (x + y) + (x + y)²
    (a + x)                                    (x + y) = ((a + x) – (x + y))² = (a – y)²

   (2.(a + x). (x + y)) = 2(a + x) (x + y)

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

1. X² - y ²

     x      y  = (x + y) (x- y)  R:

2. a² – 1

    a      1 = (a + 1) (a – 1)  R:

3. a² – 4

     a    2 = (a + 2)(a – 2)   R:

4. 1 – y²

       1    y = (1 + y) (1 – y)  R:

5. 4a² – 9

    2a      3 = (2a + 3) (2a – 3)  R: 

6. 25 – 36x⁴

     5        6x²  =  (5 + 6x²) (5 – 6x²)   R:

 
7. a¹⁰ – 49b¹² 

     a⁵       7b⁶ = (a⁵ + 7b⁶) (a⁵ –  7b⁶)  R:

 8. 100m²n⁴ - 169y⁶

     10mn²           13y³ =  (10mn² + 13y³) (10mn²- 13y³)  R:

9. 1 - 9a²b⁴c⁶d⁸

     1       3 ab²c³d⁴    =  (1 + 3 ab²c³d⁴) (1- 3 ab²c³d⁴)   R:

10. a²m⁴n⁶ – 144

      am²n³         12 = (am²n³ + 12) (am²n³  - 12)  R:

CASO ESPECIAL

1. (x + y)² – a²

    (x + y)       a = ((x + y) + a) ((x + y) – a) = (x + y + a) (x + y – a) R:

2. 4 – (a + 1)²
     2    (a + 1) = (2 +  (a + 1)) (2 – (a + 1)) = (2 + a + 1) (2 – a – 1) = (3 + a) (1 – a)  R:  

3.  (a - 2b)² - (x +  y)² 

      (a - 2b)      (x + y)   = ((a - 2b) + (x + y))  ((a - b) -  (x + y))

                                           (a - 2b + x + y)   (a -2b - x - y)               R:

4. 16a¹⁰ - (2a² + 3) ²  

     4a⁵         (2a² + 3)  =  ((4a⁵ + (2a² + 3))( 4a⁵ - (2a² + 3))

                                          (4a⁵ + 2a² + 3)(4a⁵ - 2a² - 3)         R:

5. 36(m + n)² - 121(m - n)²  

    6(m + n)           11(m - n)   = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n)) 
                                                    (6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)

                                                    (17m + 5n ) (5m +17n)                                                R:

CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASOS III Y I

1. a² + 2ab + b² - x²

    (a² + 2ab + b²) - x²

    (a + b) ² - x²

    R : (a + b + x)(a + b - x)

2
. x² -2xy + y² – m²

   (x² -2xy + y²) – m²

   (x – y)² – m²

   R: (x – y + m) (x – y – m)

3. m² + 2mn + n² – 1

    (m² + 2mn + n²) – 1

    (m + n)² – 1

    R: (m + n + 1) (m + n – 1)

4. 9x² – 1 + 16a² – 24 ax

    9x² – 24 ax + 16a² – 1

   (9x² – 24 ax + 16a²)  – 1

   (3x – 4a)² – 1

   R: (3x – 4a + 1) (3x – 4a – 1)

5. 1 + 64a²b² – x⁴ – 16ab

     64a²b² – 16ab + 1 – x⁴

    (8ab – 1)² – x⁴

    R: (8ab – 1 + x²) (8ab – 1 – x²)

6. 1 - a² + 2ax - x²

    1 - (a² + 2ax - x²⁾

    1 - (a - x)²

    R: (1 - a + x) (1 + a + x)

7. c² – a² + 2a – 1

    c² – (a² – 2a + 1)

    c² – (a – 1)²

    R: (c + a – 1) (c – a + 1)

8. 25 – x² – 16y² + 8xy

    25 –(x² – 8xy + 16y²)

    5 – (x – 4y) ² 

    R: (5 + x – 4y) (5 – x + 4y)

9. 16a² - 1 - 10m + 9x² - 24ax - 25m²

    (16a² -24ax +  9x²) - (1 + 10m + 25m²)

    (4a - 3x) ² - (1 + 5m) ²

    R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

10.  9m² – a² + 2acd – c²d² + 100 – 60m

       (9m² – 60m + 100) – (a² – 2acd + c²d²)

       (3m – 10)² – (a – cd)² 

       R: (3m – 10+ a – cd) (3m – 10 – a + cd)

            (a – cd +a  + 3m – 10) (-a + cd + 3m + cd)

CASO V

 

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

1. a⁴ +    a² + 1

         +    a²       - a²
    a⁴ + 2a²+ 1 - a² 

    (a⁴ + 2a²+ 1) - a²

    (a² + 1)² - a²

    R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

2. m⁴ +   m²n² + n⁴

           +   m²n²          – m² n²     

     m⁴ +2 m²n² + n⁴ –  m²n²

    (m⁴ +2 m²n² + n⁴) –  m²n²

    (m² + n²)² – m²n²

    (m² + mn + n²) (m² – mn + n²)

3. x⁴  – 6x² + 1

          + 4x²       – 4x²

     x⁴ – 2x² + 1 – 4x²

    (x⁴ – 2x² + 1) – 4x²

    (x² – 1)² – 4x²

   R: (x² + 2x +1) (x² – 2x +1)

4. 16m⁴ – 25m²n² + 9n⁴

               +      m²n²               – m²n²

      16m⁴ – 25m²n² + 9n⁴ – m²n²

      (16m⁴ – 25m²n² + 9n⁴) – m²n²

      (4m² – 3n²)² – m²n²

       R: (4m² + mn – 3n²) (4m² + mn + 3n²)

5. 25⁴ + 54a²b² + 49b⁴

           + 16 a²b²               - 16 a²b²­

      25⁴ + 70a²b² + 49b⁴ - 16 a²b²­

      (25⁴ + 70a²b² + 49b⁴) - 16 a²b²­

      (5a² + 7b)²- 16 a²b²

R: (5a² + 7b² + 16 ab) (5a² + 7b2- 16 ab)

     (5a² + 16ab +7b²) (5a² - 16 ab +7b²)

6. 81m⁸   +     2m⁴  + 1

                 + 16 m⁴          - 16 m⁴
      81m⁸  + 18m⁴   + 1 - 16 m⁴

      ( 81m⁸  + 18m⁴   + 1) - 16 m⁴

      (9m⁴ + 1)² - 16 m⁴

    R: (9m⁴ + 4m² + 1) (9m⁴ – 4m² + 1)

7. c⁴ – 45c² + 100

          +25c²              – 25c²

    C⁴ – 20 c² – 10      –25c²

    ( C⁴ – 20 c² – 10)  –25c²

    ( C² –10 )²  –25c²

   R: (c² + 25c – 10)( c² - 25c – 10)

8. 49 + 76n² + 64n⁴

          + 36 n²             - 36 n²

    49 + 112n² + 64n⁴ – 36n²

    (49 + 112n² + 64n⁴ )– 36n²

    (7 + 8 n²)² – 36n²

  

     R: (7 – 6n + 8n²) (7 + 6n + 8n²)

9. 121x⁴ – 133x²y ⁴ + 36y⁸

                  +      x²y ⁴                – x²y ⁴

       121x⁴ - 132x²y ⁴ + 36y⁸  – x² y⁴

       (121x⁴ - 132x²y ⁴ + 36y⁸)  – x² y⁴

       (11x² – 6y⁴)² – x² y⁴    

       R: (11x² + xy² – 6y⁴) (11x² – xy² – 6y⁴)

10. 81a⁴b⁸ - 292a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶
                     +     4 a²b⁴x⁸                  – 4 a²b⁴x⁸

       81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶  – 4 a²b⁴x⁸

           (81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶)  – 4 a²b⁴x⁸

        (9a²b⁴ - 16x⁸)²  – 4 a²b⁴x⁸

R: (9a²b⁴ - 16x⁸ + 2 ab²x⁴)  (9a²b⁴ - 16x⁸ –  2 ab²x⁴)

    (9a²b⁴ + 2 ab²x⁴- 16x⁸)  (9a²b⁴ –  2 ab²x⁴ - 16x⁸  )

CASO ESPECIAL

1. x⁴+ 64y⁴
    x⁴                            + 64y⁴

           + 16x²y²                  - 16x²y²      

     x⁴   + 16x²y²  + 64y⁴     - 16x²y²

    (x⁴   + 16x²y²  + 64y⁴)   - 16x²y²

    (x²   +  8y²)²   - 16x²y²

R: (x²   +  8y² + 4xy)  (x²   +  8y² - 4xy)

    (x²   + 4xy +  8y²)  (x²   - 4xy +  8y²)

2. 4 x⁸ + y⁸

    4 x⁸                      + y⁸

                 + 4x⁴y⁴        - 4x⁴y⁴

     4x⁸ + 4x⁴y⁴ + y⁸ – 4x⁴y⁴

     ( 4x⁸ + 4x⁴y⁴ + y⁸) – 4x⁴y⁴

     (2x⁴ + y⁴)² – 4x⁴y⁴

      R: (2x⁴ + 2x²y² + y²) (2x⁴ - 2x²y² + y²)

3. 4m⁴ + 81n⁴

     4m⁴                     + 81n⁴
               + 36m²n²                 - 36m²n²
      4m⁴  + 36m²n²  + 81n⁴   - 36m²n²

     (4m⁴  + 36m²n² +81n⁴)   - 36m²n²

      (2m² + 9n²)² - 6m²n²

R: (2m² + 9n² - 6mn) (2m² + 9n² - 36mn)

     (2m² + 6mn + 9n²) (2m²  - 6mn + 9n²)

4.  1 + 4n⁴

     1             +4n⁴

         + 4n²           - 4n²

     1 + 4n²  + 4n⁴ – 4n²

     (1 + 4n²  + 4n⁴) – 4n²

     (1 + 2n²)² – 4n² 

     R: (1 + 2n + 2n2) (1 – 2n + 2n²)

5. 81a⁴ + 64b⁴

     81a⁴                   + 64b⁴

              +144a²b²              - 144a²b²

     81a⁴  +144 a²b² +64b⁴ -144 a²b²

    (81a⁴  +144 a²b² +64b⁴) -144 a²b²

    (9a² + 8b²)² - 144 a²b²

R: (9a² + 8b² - 12 ab) (9a² + 8b² - 12 ab)

     (9a² + 12 ab + 8b²) (9a² - 12 ab + 8b²)